PMC Pillole di matematica contemporanea

Il Corso di alta formazione Pillole di Matematica Contemporanea (PMC) si articola principalmente attraverso lezioni frontali. I partecipanti hanno l’opportunità di approfondire le principali teorie e i problemi aperti nelle branche della matematica contemporanea, con un focus sugli sviluppi che hanno portato alle attuali conoscenze.

In termini di comprensione, i partecipanti acquisiscono una solida conoscenza delle teorie moderne e degli sviluppi che le hanno originate, comprendendo gli oggetti matematici e le questioni irrisolte in algebra, analisi, geometria algebrica, matematica discreta e computazionale.
Come applicazione delle conoscenze sono in grado di progettare lezioni che includano riferimenti alle teorie contemporanee e di creare percorsi di orientamento per facilitare la transizione scuola/università.

Vengono inoltre sviluppate capacità critiche per l’autonomia di giudizio nel valutare le notizie matematiche riportate dai media e filtrare le informazioni in modo competente per gli studenti.
In termini di comunicazione, il corso fornisce strumenti per dialogare con la comunità scientifica e per trasmettere le competenze acquisite in modo efficace agli studenti.

In un’ottica, infine, di apprendimento continuo, le conoscenze costruite permettono ai docenti di aggiornarsi sulle scoperte future, modificando e arricchendo l’insegnamento della matematica nelle scuole.

Il Corso di alta formazione Pillole di Matematica Contemporanea (PMC) è rivolto agli insegnanti di Matematica nelle scuole secondarie di secondo grado e offre un aggiornamento professionale e culturale.

Il percorso amplia le conoscenze sulla matematica contemporanea con una serie di lezioni sugli argomenti di frontiera, oltre a una discussione rigorosa dei problemi aperti. Le presentazioni sono calibrate in modo da permettere ai docenti di scuola secondaria di costruire un insieme di conoscenze e competenze da sfruttare nella preparazione delle lezioni dell’ultimo anno di insegnamento della matematica nelle scuole secondarie di secondo grado e nell’organizzazione di percorsi di orientamento e avvicinamento all’Università.

Nel corso vengono introdotti argomenti fondamentali della matematica contemporanea, illustrando i risultati che hanno portato alla loro attuale formulazione.

Il Corso di alta formazione Pillole di Matematica Contemporanea (PMC) affronta diverse tematiche:

A) Un secolo con le trecce
Il corso esplora i gruppi delle trecce, studiati sistematicamente da E. Artin 100 anni fa. Questi oggetti matematici hanno applicazioni in topologia, come gruppo fondamentale degli spazi di configurazione, e nella teoria degli invarianti di nodi, sviluppata da V. Jones (Medaglia Fields 1990). In meccanica statistica, emergono nell’equazione di Yang-Baxter, centrale nello studio dei gruppi quantici introdotti da Jimbo e Drinfeld (Fields 1986). Il corso offre un percorso storico e qualitativo, analizzando il loro ruolo nella matematica moderna.

B) Geometria birazionale
Il Programma dei Modelli Minimali (MMP) punta alla classificazione birazionale delle varietà algebriche. Dai risultati della scuola italiana (Castelnuovo ed Enriques) per curve e superfici, si arriva agli sviluppi di S. Mori (Fields 1990) e alla generazione finita dell’anello canonico, dimostrata da C. Birkar (Fields 2018). Il corso si concentra sui casi più semplici e sulle difficoltà incontrate in dimensioni superiori.

C) Radici scientifiche della questione etica dell’Intelligenza Artificiale
L’IA è analizzata come prodotto di interazioni socio-tecnologiche non neutrali, con implicazioni etiche, sociali e culturali. Il corso esplora queste radici scientifiche, approfondendo aspetti epistemologici e interdisciplinari, e promuove lo sviluppo di uno spirito critico e responsabile per orientare il progresso tecnologico verso democrazia e inclusione.

D) Sviluppi recenti e problemi aperti in Programmazione Lineare
La Programmazione Lineare, introdotta nel dopoguerra, mira a massimizzare funzioni lineari su insiemi definiti da disequazioni lineari. Il metodo del simplesso, tra i più usati, lascia aperte questioni teoriche sull’efficienza, considerate da S. Smale tra i principali problemi del XXI secolo. Il corso esplora i progressi legati al diametro dei poliedri negli ultimi 20 anni.

E) Il problema isoperimetrico
Il problema del cercare la forma che minimizza il perimetro per una data area risale all’antica Grecia, ma ha trovato una dimostrazione rigorosa solo nel XX secolo. Alessio Figalli (Fields 2018) ha applicato il trasporto ottimale allo studio delle disuguaglianze isoperimetriche. La lezione introduce concetti classici e teorie moderne.

F) Aspetti matematici della complessità
Il corso esamina modelli complessi, come il modello di Lenz-Ising per interazioni magnetiche e il modello di Hopfield per reti neurali, utili per comprendere fenomeni collettivi come la magnetizzazione e il riconoscimento nelle reti neurali. Sarà proposta una rassegna fisico-matematica delle loro proprietà e applicazioni.