PMC Pillole di matematica contemporanea

Il Corso di alta formazione Pillole di Matematica Contemporanea (PMC) si articola principalmente attraverso lezioni frontali. I partecipanti hanno l’opportunità di approfondire le principali teorie e i problemi aperti nelle branche della matematica contemporanea, con un focus sugli sviluppi che hanno portato alle attuali conoscenze.

In termini di comprensione, i partecipanti acquisiscono una solida conoscenza delle teorie moderne e degli sviluppi che le hanno originate, comprendendo gli oggetti matematici e le questioni irrisolte in algebra, analisi, geometria algebrica, matematica discreta e computazionale.
Come applicazione delle conoscenze sono in grado di progettare lezioni che includano riferimenti alle teorie contemporanee e di creare percorsi di orientamento per facilitare la transizione scuola/università.

Vengono inoltre sviluppate capacità critiche per l’autonomia di giudizio nel valutare le notizie matematiche riportate dai media e filtrare le informazioni in modo competente per gli studenti.
In termini di comunicazione, il corso fornisce strumenti per dialogare con la comunità scientifica e per trasmettere le competenze acquisite in modo efficace agli studenti.

In un’ottica, infine, di apprendimento continuo, le conoscenze costruite permettono ai docenti di aggiornarsi sulle scoperte future, modificando e arricchendo l’insegnamento della matematica nelle scuole.

Il Corso di alta formazione Pillole di Matematica Contemporanea (PMC) è rivolto agli insegnanti di Matematica nelle scuole secondarie di secondo grado e offre un aggiornamento professionale e culturale.

Il percorso amplia le conoscenze sulla matematica contemporanea con una serie di lezioni sugli argomenti di frontiera, oltre a una discussione rigorosa dei problemi aperti. Le presentazioni sono calibrate in modo da permettere ai docenti di scuola secondaria di costruire un insieme di conoscenze e competenze da sfruttare nella preparazione delle lezioni dell’ultimo anno di insegnamento della matematica nelle scuole secondarie di secondo grado e nell’organizzazione di percorsi di orientamento e avvicinamento all’Università.

Nel corso vengono introdotti argomenti fondamentali della matematica contemporanea, illustrando i risultati che hanno portato alla loro attuale formulazione.

Il Corso di alta formazione Pillole di Matematica Contemporanea (PMC) affronta diversi temi:

A) Un secolo con le trecce
Lo studio del gruppo delle trecce, tuttora vivace, nasce nel 1925 ad opera di E. Artin. Mostreremo come questi gruppi descrivano i camminiin uno spazio di configurazioni di punti e che ruolo abbiano nella teoria dei nodi alla quale V. Jones (Medaglia Fields 1990) ha contribuito in modo essenziale. Desriveremo poi il loro legame con l’equazione di Yang-Baxter in meccanica statistica e con la teoria dei gruppi quantici introdotti da Jimbo e Drinfeld (Medaglia Fields 1986).

B) Geometria birazionale
Il Programma dei Modelli Minimali (MMP) punta alla classificazione birazionale delle varietà algebriche. Dai risultati della scuola italiana (Castelnuovo ed Enriques) per curve e superfici, si arriva agli sviluppi di S. Mori (Fields 1990) e alla generazione finita dell’anello canonico, dimostrata da C. Birkar (Fields 2018). Il corso si concentra sui casi più semplici e sulle difficoltà incontrate in dimensioni superiori.

C) Radici scientifiche della questione etica dell’Intelligenza Artificiale
Gli strumenti di IA sono socio-tecnici, cioè costituiti da un’interazione complessa tra persone e tecnologia lungo tutto il loro processo di sviluppo. Il corso analizza le radici scientifiche delle questioni sociali, etiche e culturali sollevate dall’IA, focalizzandosi sui caratteri di non neutralità presenti fin dal suo fondamento scientifico. Si tratteranno aspetti di epistemologia e di ricerca interdisciplinare, per lo sviluppo di uno spirito critico e del senso di responsabilità, personale e collettiva.

D) Sviluppi recenti e problemi aperti in Programmazione Lineare
La Programmazione Lineare (PL) è una tipologia di problemi di ottimizzazione di grande interesse pratico. Sebbene siano noti metodi risolutivi per la PL, restano ancora aperte alcune questioni teoriche sulla loro efficienza, considerate dalla medaglia Fields Stephen Smale tra le domande principali del XXI secolo. Questo è collegato a un altro importante problema non ancora risolto, relativo al diametro dei poliedri, per il quale sono stati fatti progressi significativi negli ultimi vent’anni.

E) Il problema isoperimetrico
Il problema di trovare la forma che minimizza il perimetro per una data area ha origini antiche, ma la sua soluzione rigorosa è stata raggiunta soltanto nel XX secolo. Alessio Figalli (Fields 2018) ha recentemente applicato la teoria del trasporto ottimale allo studio delle disuguaglianze isoperimetriche, aprendo nuove prospettive di ricerca. La lezione offre una panoramica sulla storia e sulla soluzione del problema isoperimetrico.

F) La matematica della complessità
Si propone una rassegna sulla classe di modelli matematici del tipo Lenz-Ising, prototipo dei cosi’ detti sistemi “complessi”, in cui regole di interazione semplici tra gli elementi di base danno luogo a fenomeni collettivi non banali. In particolare, viene trattato il modello di Hopfield (Nobel per la Fisica 2024) che descrive i meccanismi di riconoscimento delle reti di neuroni, e il suo legame con i vetri di spin studiati da Parisi (Nobel per la Fisica 2021).